Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=T_n，求證T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線x-y+1=0上，知a_n-a_n+1+1=0，所以a_n是以公差d=1的等差數(shù)列．
（2）證明：Sn=

n(1+n)

2

•

1

Sn

=

2

n(1+n)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

) ＜2．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線x-y+1=0上，
∴a_n-a_n+1+1=0，即a_n+1-a_n=1，
∴a_n是以公差d=1的等差數(shù)列．
（2）證明：∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，d=1，
∴Sn=

n(n+1)

2

，

1

Sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

) ＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)求和法的靈活運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真思考，仔細(xì)解答．