Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=

2

，BB₁=2，∠ABC=90°，E、F分別為AA₁、C₁B₁的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長度為

 

．

Answer 1

分析：分類討論，若把面ABA₁B₁ 和面B₁C₁BC展開在同一個(gè)平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理得 EF 的長度．
若把把面ABA₁B₁ 和面A₁B₁C₁展開在同一個(gè)平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理得 EF 的長度．
若把把面ACC₁A₁和面A₁B₁C₁展開在同一個(gè)面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理得 EF 的長度．
以上求出的EF 的長度的最小值即為所求．

解答：解：直三棱柱底面為等腰直角三角形，①若把面ABA₁B₁ 和面B₁C₁CB展開在同一個(gè)平面內(nèi)，
線段EF就在直角三角形A₁EF中，由勾股定理得 EF=

A1E2+A1F2

=

1+( 3 2 2 )2

=

22

2

．
②若把把面ABA₁B₁ 和面A₁B₁C₁展開在同一個(gè)平面內(nèi)，設(shè)BB₁的中點(diǎn)為G，在直角三角形EFG中，
由勾股定理得 EF=

EG2+GF2

=

( 2 )2+(1+ 2 2 )2

=

7 2 + 2

．
③若把把面ACC₁A₁和面A₁B₁C₁展開在同一個(gè)面內(nèi)，過F作與CC₁行的直線，過E作與AC平行的直線，
所作的兩線交與點(diǎn)H，則EF就在直角三角形EFH中，
由勾股定理得 EF=

EH2+FH2

=

(2- 1 2 )2+(1+ 1 2 )2

=

3 2

2

，
綜上，從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長度為

3 2

2

，
故答案為：

3 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查把兩個(gè)平面展開在同一個(gè)平面內(nèi)的方法，利用勾股定理求線段的長度，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．