Question

如圖，設拋物線方程為x²=2py(p＞0),M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；

（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，，求此時拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題意設

                     由得，則

                     所以

                     因此直線MA的方程為

　　　　　　　　直線MB的方程為

                     所以                   ①

                   ②

由①、②得　　

因此　，即

所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x₀=2時，

                將其代入①、②并整理得：

              　

              　

　　　　　所以　x₁、x₂是方程的兩根，

              因此

              又

              所以

              由弦長公式得

             

　　　　又，

              所以p=1或p=2，

              因此所求拋物線方程為或

（Ⅲ）解：設D(x₃,y₃)，由題意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),

                則CD的中點坐標為

              　設直線AB的方程為

              　由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，

              　代入得

              　若D（x₃,y₃）在拋物線上，則

              　因此　x₃=0或x₃=2x₀.

                即D(0，0)或

              （1）當x₀=0時，則，此時，點M(0,-2p)適合題意.

              （2）當，對于D(0，0)，此時

              　　又AB⊥CD，

所以

即矛盾.

對于因為此時直線CD平行于y軸，

又

所以　　直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，

所以時，不存在符合題意的M點.

綜上所述，僅存在一點M(0，-2p)適合題意.