已知函數(shù)f(x)=
1x -1
．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)性，并用定義加以證明；
（2）求當x∈[3，5]時 f（x） 的值域．
分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)性，
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域即可．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
證明：在（1，+∞）任意設兩個變量x1＜x2，且1＜x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=
1
x1-1
-
1
x2-1
=
x2-x1
(x1-1)(x2-1)
，
∵1＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，
∴f(x1)-f(x2)=
x2-x1
(x1-1)(x2-1)
＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）∵函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在[3，5]上單調(diào)遞減．
∴f（5）≤f（x）≤f（3），
即
1
4
≤f（x）≤
1
2
，
則函數(shù)f（x） 的值域為[
1
4
，
1
2
]．
點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用以及值域的求法，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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