Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長(zhǎng)為2+2

2

，記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W．
（1）求W的方程；
（2）曲線W上是否存在這樣的點(diǎn)P：它到直線x=-1的距離恰好等于它到點(diǎn)B的距離？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為2+2

2

，|AB|=2，利用橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡，從而可得W的方程；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意，則點(diǎn)P為拋物線y²=4x與曲線W：

x2

2

+y2=1，(y≠0)的交點(diǎn)，聯(lián)立方程，求得交點(diǎn)即可．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），∵|AC|+|AB|+|BC|=2+2

2

，|AB|=2，
∴|AC|+|BC|=2

2

＞2…（3分）
∴由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

2

的橢圓（除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）．
∴a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1…（5分）
∴W的方程：

x2

2

+y2=1，(y≠0)…（6分）
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意，則點(diǎn)P為拋物線y²=4x與曲線W：

x2

2

+y2=1，(y≠0)的交點(diǎn)，
由

y2=4x x2 2 +y2=1(y≠0)

，消去y得：x²+8x-2=0…（9分）
解得x1=3

2

-4，x2=-3

2

-4（舍去）                                …（11分）
由x=3

2

-4代入拋物線的方程得y=±2

3 2 -4

…（13分）
所以存在兩個(gè)點(diǎn)(3

2

-4，2

3 2 -4

)和(3

2

-4，-2

3 2 -4

)滿足題意．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查曲線的交點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．