Question

設(shè)函數(shù)f（x）=m-e^-nx（m，n∈R）
（1）若f（x）在點(diǎn)x=0處的切線方程為y=x，求m，n的值．
（2）在（1）條件下，設(shè)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=m-e^-nx，∴f^′（x）=ne^-nx，∴f^′（0）=n=1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=0，∴切點(diǎn)為（0，0）．
∴f（0）=0=m-1，解得m=1．
∴m=n=1．
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1-e^-x＜1與已知矛盾；
②當(dāng)a＜0時(shí)，，x≥0，可變形為，
若，
此時(shí)，因此應(yīng)舍去；
③當(dāng)a＞0時(shí)，不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為0，
令，則，
若，即a≥1時(shí)，h^′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（0）=0，∴恒成立；
若，即0＜a＜1時(shí)，令h′（x）=0，解得．
當(dāng)時(shí)，，h^′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，此時(shí)h（x）＜h（0）=0，與h（x）≥0矛盾．
綜上所述：a的取值范圍為{a|a≥1}．
分析：（1）利用f^′（0）=1，f（0）=0即可求出；
（2）通過對a分類討論，利用研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出．
點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法及導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．