已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b≥0），其離心率為
4
5
，兩準(zhǔn)線之間的距離為
25
2
．
（1）求a，b之值；
（2）設(shè)點A坐標(biāo)為（6，0），B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按順時針方向排列），求P點的軌跡方程．
（1）設(shè)c為橢圓的焦半徑，則
c
a
=
4
5
，
a2
c
=
25
4
，于是有a=5，c=4，∴b=3．
（2）解法一：設(shè)B點坐標(biāo)為（s，t），P點坐標(biāo)為（x，y）．
于是有
AB
=(s-6，t)，
AP
=(x-6，y)．
因為
AB
⊥
AP
，所以有（s-6，t）（x-6，y）=（s-6）（x-6）+ty=0．           ①
又因為△ABP為等腰直角三角形，所以有|AB|=|AP|，即
(s-6)2+t2
=
(x-6)2+y2
．              ②
由①推出s-6=-
ty
x-6
?(s-6)2=
t2y2
(x-6)2
，代入②得t2=（x-6）2
從而有 y2=（s-6）2，即s=6+y（不合題意，舍去）或s=6-y．
代入橢圓方程，即得動點P的軌跡方程
(x-6)2
9
+
(y-6)2
25
=1．
解法二：設(shè)B（x1，y1），P（x，y），|AB|=r，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為
x=6+rcosα
y=rsinα
．
設(shè)AB與x軸正方向夾角為θ，B點的參數(shù)表示為
x1=6+rcosθ
y1=rsinθ
，
P點的參數(shù)表示為
x=6+rcos(90°-θ)
y=rsin(90°-θ)
，即
x=6+rsinθ
y=-rcosθ
．
從上面兩式，得到
x1=6-y
y1=x-6
．
又由于B點在橢圓上，可得
(x-6)2
9
+
(y-6)2
25
=1．
此即為P點的軌跡方程．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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