Question

若函數f(x)=|

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax|有兩個極大值點，則實數a的取值范圍是

a＜0或0＜a＜

1

3

或a＞3．

．

Answer 1

分析：不單調的三次函數只有一個極大值和極小值，絕對值的作用是把負值對稱成正值，所以本題的等價條件是三次函數的兩個極值的符號一個為正，一個為負．

解答：解：設g(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax，則g'（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．因為函數f（x）有兩個極值，所以函數g（x）不單調，所以a≠1．

①若a＜0，則函數g（x）在x=1處只有一個極小值g（1），當極小值小于0時，加上絕對值則相應變?yōu)闃O大值，所以此時有g(1)=

1

3

-

1

2

(a+1)+a＜0，解得
a＜

1

3

，所以此時a＜0成立．

②若a＞0且a≠1，此時函數分別在x=1處和x=a處，取得極值g（1），g（a），兩者一個為極大值，一個為極小值．所以要使函數函數f(x)=|

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax|有兩個極大值點，則滿足g（1）g（a）＜0，即g(1)=

1

3

-

1

2

(a+1)+a=

3a-1

6

，g(a)=

1

3

a3-

1

2

(a+1)a2+a2=

(3-a)a2

6

，所以g(1)g(a)=

3a-1

6

?

(3-a)a2

6

＜0，解得0＜a＜

1

3

或a＞3
綜上滿足條件的實數a的取值范圍是a＜0或0＜a＜

1

3

或a＞3．
故答案為：a＜0或0＜a＜

1

3

或a＞3．

點評：本題考查不單調的三次函數的圖象以及絕對值的幾何意義，要求熟練掌握不單調的三次函數的圖象．對應不單調的三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，當a＞0時的一般圖象為：
當a＜0時的圖象一般為：