Question

若橢圓上任一點(diǎn)到其上頂點(diǎn)的最大距離恰好等于該橢圓的中心到其準(zhǔn)線的距離，則該橢圓的離心率的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)橢圓上點(diǎn)為（acosθ，bsinθ）進(jìn)而求得到上頂點(diǎn)距離的平方進(jìn)而看≤1和＞1時(shí)，橢圓上點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離恰好是中心到準(zhǔn)線距離的最大值，進(jìn)而求得a和c的不等式關(guān)系求得e的范圍．
解答：解：設(shè)橢圓上點(diǎn)為（acosθ，bsinθ）
其到上頂點(diǎn)距離的平方為（acosθ）²+（b-bsinθ）²=a²+b²-2b²sinθ-c²（sinθ）²
若≤1，則最大值為a²+b²+=
所以此時(shí)橢圓上點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離恰好是中心到準(zhǔn)線距離，
所以e的范圍滿足≤1，
即：c²≥b²=a²-c²
2c²≥a²
∴≤e＜1
若＞1，則最大值為4b²，它要等于
a⁴=4c2（a²-c²）
所以a²=2c²，此時(shí)b²=c²，舍去
故答案為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生邏輯推理和基本運(yùn)算能力．