Question

如圖，已知曲線C₁：y=x³（x≥0）與曲線C₂：y=-2x²+3x（x≥0）交于點O，A，與直線x=t（0＜t＜1）與曲線C₁，C₂交于B，D
（1）寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數(shù)關(guān)系S=f（t）
（2）討論f（t）的單調(diào)性，并求f（t）的最大值
（3）對任意t∈（0，1），x∈（

π

4

，π]，f（t）＞cos x+

3

sin x+a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先聯(lián)立兩曲線的方程，解出交點B、D的坐標(biāo)，然后據(jù)圖可得S=

1

2

BD×1，將S表示成關(guān)于t的函數(shù)；
（2）由（1）知，S=f（t）是一個三次函數(shù)，因此利用導(dǎo)數(shù)研究其在定義域（0，1）上的單調(diào)性；
（3）這是一個兩個變量的恒成立問題，只需f（t）_min＞（cos x+

3

sin x+a）_max，t∈（0，1），x∈（

π

4

，π]．

解答： 解：（1）由

y=x3 y=-2x2+3x

解得O（0，0），A（1，1），
將x=t分別代入C₁：y=x³（x≥0）與曲線C₂：y=-2x²+3x（x≥0）的方程得B（t，t³），D（t，-2t²+3t），
∴BD=-2t²+3t-t³，
∵四邊形ABOD的面積是△OBD與△ABD面積的和，
∴S=

1

2

BD•t+

1

2

BD•(1-t)=

1

2

BD×1=

1

2

(-2t2+3t-t3)（0＜t＜1），
=-

1

2

t3-t2+

3

2

t（0＜t＜1）．

（2）令f（t）=-

1

2

t3-t2+

3

2

t（0＜t＜1），
則f′（t）=-

3

2

t2-2t+

3

2

，
令f′（t）=0得t1=

2+ 13

-3

，或t2=

13 -2

3

，
由f′(t)＞0得-

2+ 13

3

＜t＜

13 -2

3

，由f′(t)＜0得t＜-

2+ 13

3

或t＞

13 -1

3

，
∴當(dāng)t∈(0，

13 -2

3

)時，f′（t）＞0；當(dāng)t∈（

13 -2

3

，1）時，f′（t）＜0；
∴f（t）在(0 ， 

13 -2

3

)上是增函數(shù)，在(

13 -2

3

，1)上是減函數(shù)，
∴f(x)max=f(

13 -2

3

)=

29 13 -103

18

．
（3）由（2）知當(dāng)t∈（0，1）時，f（t）的最小值是f（0）與f（1）中的較小者，∴f（t）_min=f（0）=f（1）=0，
令g（x）=（cos x+

3

sin x+a）x∈（

π

4

，π]，
∵g(x)=2(

1

2

cosx+

3

2

sinx)+a=2sin(x+

π

6

)+a，
又∵x∈[

π

4

，π]，∴當(dāng)x=

π

3

時，g（x）_max=2+a，
又∵對任意t∈（0，1），x∈（

π

4

，π]，f（t）＞cos x+

3

sin x+a恒成立，
∴只需f（t）_min＞g（x）_max，
即0＞2+a，∴a＜-2．

點評：本題的第一問考查利用函數(shù)知識解決幾何圖形的面積問題，應(yīng)先畫出圖象，可以看出，因為直線x=t的移動，引起了四邊形ABOD面積的變化，因此用t把四邊形的面積表示出來，得到S=f（t）的表達(dá)式，注意定義域；第二問就是一個利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)性的問題，屬常規(guī)題；第三問兩個變量的取值相互不受影響，因此只需f（t）_min＞g（x）_max，即可，將問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的最值問題．