Question

12．已知過點(diǎn)M（$\frac{p}{2}$，0）的直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3，則當(dāng)|AM|+4|BM|最小時(shí)，|AB|=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3，首先可以由韋達(dá)定理，得出拋物線的方程，然后，利用拋物線的定義，將|AM|與4|BM|進(jìn)行表示，利用基本不等式，由取等的條件，求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式即可求得答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為：x=my+$\frac{p}{2}$，
將直線l的方程代入拋物線方程y²=2px，消去x，得，y²-2pmy-p²=0，
∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
∵$\stackrel{→}{OA}$•$\stackrel{→}{OB}$=-3，即x₁x₂+y₁y₂=-3，
x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴有$\frac{{p}^{2}}{4}$-p²=-3，
解得，p=2；（舍去負(fù)值），
∴x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$=1，
由拋物線的定義，可得，|AM|=x₁+1，|BM|=x₂+1，
則|AM|+4|BM|=x₁+4x₂+5≥2$\sqrt{{x}_{1}•4{x}_{2}}$+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=4x₂時(shí)取得等號(hào)．
由于x₁x₂=1，可以解得，x₂=2（舍去負(fù)值），∴x₁=$\frac{1}{2}$，
代入拋物線方程y²=4x，解得，y₁=$±\sqrt{2}$，y₂=±2$\sqrt{2}$，即有A（$\frac{1}{2}$，±$\sqrt{2}$）B（2，±2$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（2\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量與拋物線的結(jié)合，考查基本不等式和韋達(dá)定理，考查學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化題目條件的能力，屬于中檔題．