Question

3．如圖，等腰直角三角形ABC，點G是△ABC的重心，過點G作直線與CA，CB兩邊分別交于M，N兩點，且$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CN}=μ\overrightarrow{CB}$，則λ+4μ的最小值為3．

Answer 1

分析 由題意$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CN}=μ\overrightarrow{CB}$，從而化簡可得$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）-λ$\overrightarrow{CA}$=x（μ$\overrightarrow{CB}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）），從而可得$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}$=3，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CN}=μ\overrightarrow{CB}$，
∵M，N，G三點共線，
∴$\overrightarrow{MG}$=x$\overrightarrow{GN}$，
∴$\overrightarrow{CG}$-$\overrightarrow{CM}$=x（$\overrightarrow{CN}$-$\overrightarrow{CG}$），
∵點G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{CG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），
∴$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）-λ$\overrightarrow{CA}$=x（μ$\overrightarrow{CB}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}-λ=-\frac{1}{3}x}\\{\frac{1}{3}=xμ-\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$，
解得，（1-3λ）（1-3μ）=1，可得$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}$=3．
λ+4μ=$\frac{1}{3}$（λ+4μ）（$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}$）=$\frac{5}{3}+\frac{1}{3}•（\frac{λ}{μ}+\frac{4μ}{λ}）$≥$\frac{5}{3}+\frac{1}{3}×2×\sqrt{\frac{γ}{μ}•\frac{4μ}{λ}}$=$\frac{5}{3}+\frac{4}{3}$=3．
（當且僅當$\frac{λ}{μ}=\frac{4μ}{λ}$，即λ=1，μ=$\frac{1}{2}$時，等號成立），
故λ+4μ的最小值為：3．
故答案為：3．

點評 本題考查了平面向量的線性運算的應用及共線定理的應用，同時考查了基本不等式在求最值中的應用．