Question

某工藝品加工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)具有收藏價值的奧運會標(biāo)志--“中國印•舞動的北京”和奧運會吉祥物--“福娃”．該廠所用的主要原料為A、B兩種貴金屬，已知生產(chǎn)一套奧運會標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒．若奧運會標(biāo)志每套可獲利700元，奧運會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進(jìn)原料A、B的量分別為200盒和300盒．問該廠生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物各多少套才能使該廠月利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析：本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，由已知我們可設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物分別為x，y套，月利潤為z元，則根據(jù)已知中生產(chǎn)一套奧運會標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒．若奧運會標(biāo)志每套可獲利700元，奧運會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進(jìn)原料A、B的量分別為200盒和300盒．我們可以列出變量x，y的約束條件及目標(biāo)函數(shù)Z的解析式，利用線性規(guī)劃的方法，易求出答案．

解答：解：設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物分別為x，y套，月利潤為z元，
由題意得

4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0

目標(biāo)函數(shù)為z=700x+1200y．
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖：


目標(biāo)函數(shù)可變形為y=-

7

12

x+

z

1200

，
∵-

4

5

＜-

7

12

＜-

3

10

，
∴當(dāng)y=

-7

12

x+

z

1200

通過圖中的點A時，

z

1200

最大，z最大．解

4x+5y=200 32+10y=300

得點A坐標(biāo)為（20，24）．
將點A（20，24）代入z=700x+1200y
得z_max=700×20+1200×24=42800元．
答：該廠生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物分別為20、24套時月利潤最大，最大利潤為42800元．

點評：在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實問題中．