Question

已知函數(shù)為偶函數(shù)．
（I）求k的值；
（II）若方程有且只有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）根據(jù)方程有且只有一個(gè)實(shí)根，化簡(jiǎn)可得有且只有一個(gè)實(shí)根，令t=2^x＞0，則轉(zhuǎn)化成新方程有且只有一個(gè)正根，結(jié)合函數(shù)的圖象討論a的取值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（I） 由題意得f（-x）=f（x），
即，
化簡(jiǎn)得，…（2分）
從而4^（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴…（6分）
（II）由題意，原方程化為且a•2^x-a＞0
即：令2^x=t＞0…（8分）
函數(shù)y=（1-a）t²+at+1的圖象過(guò)定點(diǎn)（0，1），（1，2）如圖所示：
若方程（1）僅有一正根，只有如圖的三種情況，
可見(jiàn)：a＞1，即二次函數(shù)y=（1-a）t²+at+1的
開(kāi)口向下都可，且該正根都大于1，滿(mǎn)足不等式（2），…（10分）
當(dāng)二次函數(shù)y=（1-a）t²+at+1的開(kāi)口向上，
只能是與x軸相切的時(shí)候，
此時(shí)a＜1且△=0，即也滿(mǎn)足不等式（2）
綜上：a＞1或…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．屬于中檔題．