Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA1=，E、F分別是A₁C₁、BC的中點(diǎn)，若平面ABE⊥平面BB₁C₁C
（I）求證AB⊥BC
（II）FC₁∥平面ABE
（III）求平面ABE與平面EFC₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取B₁C₁的中點(diǎn)G，連接EG，GB，過C作CH⊥GB于H，證明AB⊥平面BB₁C₁C，可得AB⊥BC；
（II）取AB中點(diǎn)D，連接ED，DF，證明FC₁∥ED，可得FC₁∥平面ABE
（III）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABE的法向量=（），平面EFC₁的法向量取=（，1，-1），利用向量的夾角公式，即可求平面ABE與平面EFC₁所成銳二面角的余弦值．
解答：（I）證明：取B₁C₁的中點(diǎn)G，連接EG，GB，

則EG∥AB，GB是平面ABE與平面BB₁C₁C的交線
過C作CH⊥GB于H，則∵平面ABE⊥平面BB₁C₁C
∴CH⊥平面ABE，∴CH⊥AB
∵CC₁⊥AB，CC₁∩CH=C
∴AB⊥平面BB₁C₁C
∵BC?平面BB₁C₁C
∴AB⊥BC
（II）證明：取AB中點(diǎn)D，連接ED，DF，則DF∥EC₁，且DF=EC₁，
∴FC₁∥ED
∵FC₁?平面ABE，ED?平面ABE
∴FC₁∥平面ABE
（III）解：∵AB⊥BC，∴AB=2
建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（0，2，0），E（1，，），F(xiàn)（1，0，0），C₁（2，0，）
∴=（0，2，0），=（1，，），=（1，-，0），
設(shè)=（x，y，z）是平面ABE的法向量，則，即，可取=（）；
設(shè)=（x′，y′，z′）是平面EFC₁的法向量，則，即，可取=（，1，-1）
∴平面ABE與平面EFC₁所成銳二面角的余弦值為==
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，正確求出平面的法向量．