Question

△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差數(shù)列．
（I）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=2，，求a，c的長．

Answer 1

【答案】分析：（I）由acosC，-bcosB，ccosA成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，根據(jù)sinB不為0，兩邊同時除以sinB，可得出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinB及已知的面積代入求出ac的值，記作方程①，然后再利用余弦定理表示出cosB，把b，ac及cosB的值代入，求出a²+c²的值，并利用完全平方公式及ac的值求出a+c的值，記作方程②，聯(lián)立①②即可求出a與c的值．
解答：解：（I）∵acosC，-bcosB，ccosA成等差數(shù)列，
∴-2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化簡得：-2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），
又sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，
∴-2sinBcosB=sinB，
又B為三角形的內(nèi)角，∴sinB≠0，
∴cosB=-，
則B=；
（Ⅱ）∵B=，∴sinB=，
又S_△ABCacsinB=2，
∴ac=8①，
又b=2，cosB=-，
∴由余弦定理得：cosB===-，
可得：a²+c²=20，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=20+16=36，
∴a+c=6②，
聯(lián)立①②解得：a=2，c=4或a=4，c=2，
則a=2，c=4或a=4，c=2．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．