Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-x-1，g（x）=e^2x-x-7．
（1）解不等式f（x）≤g（x）；
（2）事實(shí)上：對(duì)于?x∈R，有f（x）≥0成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)．由此結(jié)論證明：(1+

1

x

)x＜e，（x＞0）．

Answer 1

分析：（1）依題意，解不等式e^2x-e^x-6≥0即可；
（1）?x∈R，有f（x）≥0成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)⇒當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，將

1

x

替換上式中的x，整理即可．

解答：解：（1）由f（x）≤g（x），得e^x-x-1≤e^2x-x-7．即e^2x-e^x-6≥0，
所以e^x≥3，
所以x≥ln3，即不等式f（x）≤g（x）的解集為[ln3，+∞）；
（2）由已知當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，而此時(shí)

1

x

＞0，所以e

1

x

＞1+

1

x

，
所以e＞(1+

1

x

)x（x＞0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指、對(duì)數(shù)不等式的解法，突出考查綜合法證明不等式，考查推理論證的邏輯思維能力，屬于難題．