Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，其左、右焦點為F₁、F₂，點P是坐標平面內一點，且|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

其中O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點S（-

6

5

，0），且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在x軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x₀，y₀），已知|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

，可得

x 2 0 + y 2 0 = 15 2 (-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)= 3 4

，即可解得c，再利用e=

c

a

=

3

2

及a²=b²+c²即可；
（2）存在定點M（-2，0），使以AB為直徑的圓恒過這個點．設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l：y=k(x+

6

5

)代入橢圓方程

x2

4

+y2=1得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系，只有證明

MA

•

MB

=0即可．

解答：解：（1）設P（x₀，y₀），∵|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

，
∴

x 2 0 + y 2 0 = 15 2 (-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)= 3 4

，化為

x 2 0 + y 2 0 = 15 4 x 2 0 -c2+ y 2 0 = 3 4

，
解得c=

3

．
又

e= c a = 3 2 a2=b2+c2 c= 3

，解得

a=2 b=1

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）存在定點M（-2，0），使以AB為直徑的圓恒過這個點．證明如下：
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把直線l：y=k(x+

6

5

)代入橢圓方程

x2

4

+y2=1得(1+4k2)x2+

48

5

k2x+

144

25

k2-4=0，
∴x1+x2=-

48k2

5(1+4k2)

，x1x2=

144k2-100

25(1+4k2)

．
∴

MA

•

MB

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=(x1+2)(x2+2)+k(x1+

6

5

)•k(x2+

6

5

)
=（1+k²）x₁x₂+(

6

5

k2+2)(x1+x2)+4+

36

25

k2
=(1+k2)•

144k2-100

25(1+4k2)

+(

6

5

k2+2)•

-48k2

5(1+4k2)

+4+

36

25

k2
=

(144k4+44k2-100)-(288k4+480k2)+(144k4+436k2+100)

25(1+4k2)

=0．
∴MA⊥MB．
即以AB為直徑的圓恒過這個定點M（-2，0）．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、數量積運算、兩點間的距離關系等基礎計算與基本技能，考查了推理能力和計算能力．