【題目】遞增數(shù)列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整數(shù)組成，它們要么是3的冪要么是若干個(gè)不同的3的冪的和.求第2014項(xiàng)的值.

【答案】88329

【解析】

記此數(shù)列為.則.

用二進(jìn)制表示項(xiàng)的序號(hào)n，三進(jìn)制表示項(xiàng)，

，

，

，

，

，

，

，

.

由題意，知的三進(jìn)制表示各位僅可取0、1兩個(gè)值且單調(diào)遞增，由此可猜測(cè)當(dāng)時(shí)，.

接下來(lái)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立.

則當(dāng)時(shí)，其中，，必有整數(shù)，使且.

故.

于是，.

由假設(shè)得，它是若干不同的3的冪之和且小于的最大值.

由單調(diào)遞增知

，

其中，.

則，

且仍為中某一項(xiàng)（當(dāng)然）.

于是，即

.

故 .

另一方面，，

當(dāng)然，可表示為若干個(gè)互不相同的3的冪之和，故存在，使.

從而，.

而，于是，，即.

因此，.

這導(dǎo)致.

故當(dāng)時(shí)，命題仍成立.

因?yàn)?/span>，所以，

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù)f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為n，正數(shù)a，b滿(mǎn)足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x+ ，其中a＞0
（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若f（x2）﹣f（x1）存在最大值，記為M（a）．則a≤e+ 時(shí)，M（a）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】李冶（1192﹣1279），真定欒城（今屬河北石家莊市）人，金元時(shí)期的數(shù)學(xué)家、詩(shī)人、晚年在封龍山隱居講學(xué)，數(shù)學(xué)著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問(wèn)題：求圓的直徑，正方形的邊長(zhǎng)等，其中一問(wèn)：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個(gè)圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長(zhǎng)分別是（注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計(jì)算）（ ）
A.10步、50步
B.20步、60步
C.30步、70步
D.40步、80步

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A.（e2﹣3，e2+1）
B.（e2﹣3，+∞）
C.（﹣∞，2e2+2）
D.（2e2﹣6，2e2+2）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；

（2）若函數(shù)在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=mln（x+1），g（x）= （x＞﹣1）．
（Ⅰ）討論函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線(xiàn)，試求實(shí)數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|a﹣x|（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a= 時(shí)，求使不等式f（2x﹣ ）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A；
（Ⅱ）設(shè)x0∈A，證明f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)a是一個(gè)各位數(shù)字都不是0且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，將組成a的3個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I（a），按從大到小排成的三位數(shù)記為D（a），（例如a=746， 則I（a）=467，D（a）=764）閱讀如右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個(gè)a，輸出的結(jié)果b= ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案