Question

9．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率$e=\sqrt{2}$，F(xiàn)₁、F₂為其左右焦點，點P在C上，且$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0$，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=2$，O是坐標(biāo)原點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過F₂的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，求$\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出a=b，設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=2$，求出a²=2，從而求出雙曲線方程即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求出即可．

解答 解：（1）由e=$\sqrt{2}$⇒$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$⇒c=$\sqrt{2}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}{-a}^{2}}$=a，
故雙曲線C的方程為x²-y²=a²（a＞0）．
由$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0$⇒x_p=c=$\sqrt{2}$a，y_p=±a，又F₁（-$\sqrt{2}$a，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$a，0），
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=2$⇒a²=2，故得出雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（5分）
（2）由（1）知點F₁、F₂的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），
當(dāng)直線的斜率不存在時，得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=14；…（7分）
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x-2），并設(shè)A（x₁，k（x₁-2）），B（x₂，k（x₂-2）），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}{-y}^{2}=2}\end{array}\right.$⇒（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0，依題意知k²-1≠0．
$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₁+2，k（x₁-2））（x₂+2，k（x₂-2））=（k²+1）x₁x₂-（2k²-2）（x₁+x₂）+4k²+4，
將x₁+x₂=$\frac{{4k}^{2}}{{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{{4k}^{2}+2}{{k}^{2}-1}$代入上式化簡得：
$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=14+$\frac{12}{{k}^{2}-1}$，由k²≥0及k²≠1，$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$≤2或$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$＞14，
綜上可知$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$的取值范圍是（-∞，2]∪[14，+∞）．…（12分）

點評 本題考察了求雙曲線的方程問題，考察直線和曲線的關(guān)系，是一道中檔題．