Question

已知函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)在處取得極值，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時，求證：．

Answer 1

（1）在上遞減，在上遞增；（2）；（3）證明詳見解析．

解析試題分析：（1）先求函數(shù)的導函數(shù)，然后分別求解不等式、，即可求出函數(shù)的單調增、減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；（2）先根據(jù)函數(shù)在取得極值，得到，進而求出的值，進而采用分離參數(shù)法得到，該不等式恒成立，進一步轉化為，利用導數(shù)與最值的關系求出函數(shù)的最小值即可；（3）先將要證明的問題進行等價轉化，進而構造函數(shù)，轉化為證明該函數(shù)在單調遞增，根據(jù)函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系進行證明即可．
試題解析：（1）當時，
得，得
∴在上遞減，在上遞增
（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴
∴
令，可得在上遞減，在上遞增
∴，即 
（3）證明：
令，則只要證明在上單調遞增
又∵
顯然函數(shù)在上單調遞增
∴，即
∴在上單調遞增，即
∴當時，有．
考點：1．函數(shù)的單調性與導數(shù)；2．函數(shù)的極值與導數(shù)；3．函數(shù)的最值與導數(shù)；4．分離參數(shù)法；5．構造函數(shù)法．