Question

給出下列命題：
①過點P（2，1）的拋物線的標準方程是y2=

1

2

x；
②雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點；
③焦點在x軸上的雙曲線C，若離心率為

5

，則雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x．
④橢圓

x2

m+1

+

y2

m

=1的兩個焦點為F₁，F₂，P為橢圓上的動點，△PF₁F₂的面積的最大值為2，則m的值為2．其中真命題的序號為

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①過點P（2，1）的拋物線的標準方程是y2=

1

2

x，用待定系數法求出拋物線的方程，對比判斷；
②雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點，求出焦點坐標判斷；
③焦點在x軸上的雙曲線C，若離心率為

5

，則雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x，由題設條件求出漸近線方程．
④橢圓

x2

m+1

+

y2

m

=1的兩個焦點為F₁，F₂，P為橢圓上的動點，△PF₁F₂的面積的最大值為2，則m的值為2，由橢圓的簡單性質判斷．

解答：解：①過點P（2，1）的拋物線的標準方程是y2=

1

2

x是錯誤命題，因為還有一條焦點在y軸上的拋物線；
②雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點，是正確命題，因為兩個曲線的焦點都在x軸上，半焦距c相等都是

34

；
③焦點在x軸上的雙曲線C，若離心率為

5

，則雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x，是正確命題，因為離心率為

5

解得其漸近線方程為y=±2x，故正確．
④橢圓

x2

m+1

+

y2

m

=1的兩個焦點為F₁，F₂，P為橢圓上的動點，△PF₁F₂的面積的最大值為2，則m的值為2是錯誤命題，這是因為，由解析式知，半焦距長為1，，△PF₁F₂的面積的最大值為2，即bc=2．可得b=2，故m=4，
綜上，正確命題是②③
故答案為：②③．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是熟練掌握圓錐曲線的性質，并能根據它們的性質進行推理判斷，得出結論．