Question

（2010•眉山一模）已知定義域為R的函數y=f（x）滿足f（x+1）f（x-1）=1，且f（2）=3，則f（2010）=

3

．

Answer 1

分析：由題意和f（3）=3，需要令x=2代入關系式可求出f（0），再用x+1代換x，代入上式可得f（x+2）=

1

f(x)

，從而得到f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），求出函數的周期，利用周期性
求出f（2010）的值．

解答：解：由題意知，對于任意的實數都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=1代入上式得，f（2）f（0）=1，
∵f（2）=3，∴f（0）=

1

3

，
再用x+1代換x，代入上式可得，f（x+2）f（x）=1，則f（x+2）=

1

f(x)

，
f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），∴f（x）是周期函數且周期是4，
∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=3．
故答案為 3．

點評：本題是一道抽象函數問題，解題的關鍵是巧妙的賦值，求出函數值和函數的周期性，再利用周期性求函數值，即靈活的“賦值法”是解決抽象函數問題的基本方法．