Question

9．設f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx（a，b∈R）
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2時取得最小值-5，且h（x）=f（x）+3x+k只有一個零點，求k的取值范圍；
（2）設a+b≤8，且a，b∈N^*，若f（x）的單調減區(qū)間的長度是正整數，求a，b的值．（注：區(qū)間（m，n）的長度是n-m）．

Answer 1

分析 （1）由題意，求出g（x），h（x），在求g（x）的導函數在x=-2時取得最小值-5，h（x）=f（x）+3x+k只有一個零點，建立關系求k的取值范圍．
（2）求f（x）導函數的單調減區(qū)間，其長度是正整數，a+b≤8，且a，b∈N^*，從而其滿足題意的a、b的值．

解答 解：由題意f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx（{a，b∈R}）$
f′（x）=x²+2ax+b
那么：g（x）=f′（x）-2x-3=x²+（2a-2）x+b-3
則g′（x）=2x+2a-2
∵g（x）的導函數在x=-2時取得最小值-5
故有：$\left\{\begin{array}{l}{（-2）^{2}+（2a-2）（-2）+b-3=-5}\\{2×（-2）+2a-2=0}\end{array}\right.$，
解得：a=3，b=2
那么：h（x）=f（x）+3x+k=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+3x+k=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（b+3）x+k=$\frac{1}{3}$x³+3x²+5x+k
則h′（x）=x²+2ax+b+3=x²+6x+5
令h′（x）=0，解得：x₁=-1，x₂=-5
∵h（x）=f（x）+3x+k只有一個零點：
則有：$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＜0}\\{h（-5）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＞0}\\{h（-5）＞0}\end{array}\right.$
解得：$k＜-\frac{25}{3}$或$k＞\frac{7}{3}$
故k的取值范圍是{k|$k＜-\frac{25}{3}$或$k＞\frac{7}{3}$}．
（2）由（1）可得f′（x）=x²+2ax+b且f（x）的單調減區(qū)間的長度是正整數，所以方程f′（x）=0必然有兩個不相等的實數根，則△=b²-4ac=4a²-4b＞0，解得：a²＞b．
不妨設兩個根分別為x₁，x₂，則|x₁-x₂|=2$\sqrt{{a}^{2}-b}$為正整數．
又∵a+b≤8，且a，b∈N^*，a，b∈{1，2，3，4，5，6，7}
∴a≥2時才有滿足條件的a，b的值．
當a=2時，b=3使得$2\sqrt{{a}^{2}-b}$為正整數．故a=2，b=3．
當a=3時，b=5使得$2\sqrt{{a}^{2}-b}$為正整數．故a=3，b=5．
綜上所述：當a=2，b=3或a=3，b=5滿足題意．

點評 本題考查了冪函數的求導公式的運算，二次函數的最值及一元二次方程根與系數的關系，更主要考查了導數研究函數單調性的方法即分類討論的思想．