四棱錐P－ABCD中，底面是正方形，PA垂直于底面，過(guò)A的截面AEFG分別交PB、PC、PD于E、F、G，且PC截面AEFG．

(1)求證：點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G在同一球面上；

(2)若PA=AB=1，求截面AEFG截(1)中的球的截面面積．

答案：
解析：

如圖，因?yàn)锳BCD為正方形，PC截面AEFG，則AFPC，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，猜想這個(gè)球的球心在正方形中心O，可知A、B、C、D、F在以O(shè)為球心，AC為半徑的球面上，以下只需證明G、E到O的距離也是AC即可．

證明：(1)設(shè)正方形ABCD中心為O，AC=2r，連AF，因?yàn)镻C平面AEFG、AF平面AEFG，所以PCAF，Rt△AFC中，OF=AC=r．又CDAD，CDPA，所以CD平面PAD；AG平面PAD，所以CDAG，PCAG，所以AG平面PCD，GC平面PCD，所以AGGC，OG=AC=r；同理可證：OE=r，所以A、B、C、D、E、F、G各點(diǎn)到O的距離均為r，它們同在以O(shè)為球心、AC為半徑的球面上．

(2)因?yàn)镻A=AB=1，所以r=，因?yàn)槠矫鍭EFG截球，由(1)知A、E、F、G在球面上，所以AEFG為截面圓上的四個(gè)點(diǎn)，又AG平面PCD，F(xiàn)G平面PCD，因?yàn)镻C=，所以AF===，截面圓的面積S=()=．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖．在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底    面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB；
（3）求三梭錐D一ECB的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在四棱錐P一ABCD中，二面角P一AD一B為60°，∠PDA=45°，∠DAB=90°，∠PAD=90°，∠ADC=135°，
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P一CD一B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上 PM=
13
PC
（1）證明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011—2012學(xué)年浙江省海寧中學(xué)高二期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

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