如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點，G是AD的中點，EC與平面ABCD成30°角．
（1）求證：EG⊥平面ABCD；
（2）若AD=2，求二面角E-FC-G的度數(shù)．
（1）證明：如圖所示，∵△ADE是等邊三角形，
∴EG⊥AD
又平面EAD平面ABCD且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD（4分）
（2）連接CG，則CG是EC在平面ABCD的射影
∴∠ECG是EC與平面ABCD所成的角，
∴∠ECG=30°
在Rt△ECG中：
∵AD=2，
∴EG=
3
，
∴CG=3
在Rt△CDG中：
∵DG=1，GC=3，
∴DC=2
2

則AF=BF=
2
，GF=
3
，F(xiàn)C=
6

∴GF2+FC2=GC2，
即GF⊥FC
∵GF是EF在平面AC內(nèi)的射影，
∴EF⊥FC
∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角．
在Rt△EGF中，EG=GF=
3

∴∠EFG=45°
故所求二面角E-FC-G的度數(shù)為45°（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F(xiàn)在CD上（不含C，D兩點）
（1）求多面體ABCDE的體積；
（2）若F為CD中點，求證：EF⊥面BCD；
（3）當
DF
FC
的值為多少時，能使AC∥平面EFB，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，幾何體A1C1-ABC中，四邊形AA1C1C為平行四邊形，且面AA1C1C⊥面ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中點．
（Ⅰ）證明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線BC1與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，E、F、H分別是線段PA、PD、AB的中點．
（1）求證：PD⊥平面AHF；
（2）求證：平面PBC∥平面EFH．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中點，F(xiàn)是A1B的中點，
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥平面BDF．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點的距離分別是
5
，
17
，
13
，則P到A點的距離是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求證：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若EC=3，求證：ND⊥FC；
（Ⅲ）求四面體NFEC體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2
3
的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求三棱錐B-CMN的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱A1B1C1-ABC的三視圖，主視圖和側(cè)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A1B1的中點．
（I）求證：B1C∥平面AC1M；
（II）求證：平面AC1M⊥平面AA1B1B．

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