Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點（，）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于橢圓的三個參數(shù)的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．
（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達定理得到關(guān)于兩個交點的坐標的關(guān)系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標表示，據(jù)已知三個斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．
解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），則
則故
所以，橢圓方程為．
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由消去y得
（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64k²b²-16（1+4k²b²）（b²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且，．
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
所以=k²，
即+m²=0，又m≠0，
所以k²=，即k=．
由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得
0＜m²＜2且m²≠1．
設(shè)d為點O到直線l的距離，
則S_△OPQ=d|PQ|=|x₁-x₂||m|=，
所以S_△OPQ的取值范圍為（0，1）．
點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般設(shè)出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到關(guān)于一個未知數(shù)的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設(shè)直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．