在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(
2
，0)，(-
2
，0)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）線段AB的長是3，求實(shí)數(shù)k；
（2）（理）若點(diǎn)A在第四象限，當(dāng)k＜0時，判斷|
OA
|與|
OB
|的大小，并證明．
     （文）求證：
OA
•
OB
＜0．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的定義
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(
2
，0)，(-
2
，0)為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓，可得橢圓方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用線段AB的長是3，結(jié)合弦長公式，即可求實(shí)數(shù)k；
（2）（理）利用韋達(dá)定理，證明
|OA|
2-
|OB|
2＞0，即可；
（文）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．
解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(
2
，0)，(-
2
，0)為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓，
故曲線C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．                                        4分
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足
x2
4
+
y2
2
=1
y=kx+1

消去y并整理得（1+2k2）x2+4kx-2=0，5分
則△=32k2+8，6分
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
32k2+8
1+2k2
，8分
∴
1+k2
•
32k2+8
1+2k2
=3，
∴k2=
1
2
，
∴k=±
2
2
9分
（2）（理）
|OA|
＞
|OB|
10分
證明如下：
|OA|
2-
|OB|
2=
x
2
1
+
y
2
1
-(
x
2
2
+
y
2
2
)=x12-x22+2(1-
1
4
x12-1+
1
4
x22)
=
1
2
(x12-x22)=
1
2
(x1-x2)(x1+x2)=
-2k
1+2k2
(x1-x2)12分
∵A在第四象限，故x1＞0．
由x1x2=-
2
1+2k2
知x2＜0，
從而x1-x2＞0．又k＜0，13分
故
|OA|
2-
|OB|
2＞0，即在題設(shè)條件下，恒有
|OA|
＞
|OB|
14分．
（文）
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=
-2k2-2
1+2k2
+
-4k2
1+2k2
+1=
-4k2-1
1+2k2
＜0
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足
x≤y
y≤10-2x
x≥1
，向量
a
=（2x-y，m），
b
=（-1，1）．若
a
∥
b
，則實(shí)數(shù)m的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列有關(guān)命題的說法正確的是（　　）
A、命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1”
B、若p∨q為真命題，則p、q均為真命題．
C、命題“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“對任意x∈R，均有x2+x+1＜0”
D、命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|2x2+7x-15＜0}，B={x|x2+ax+b≤0}，若A∩B=∅，A∪B={x|-5＜x≤2}，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是（　�。�
A、2，4
B、
1
2
，4
C、
11
2
，5
D、-
7
2
，3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知m是一條直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：
①若α⊥β，m?α，則m⊥β； 
②若m?α，α∥β，則m∥β；
③若m∥α，m∥β，則α∥β；  
④若m?α，m⊥β，則α⊥β．
其中正確的命題的序號是（　　）
A、①③B、②C、①④D、②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

p：若關(guān)于x的方程sinx+cosx=m有實(shí)數(shù)解；q：f（x）=logmx在（0，+∞）為單調(diào)遞增．當(dāng)p、q有且僅有一個為真命題時，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=
x2-2x
x2-2x+3
的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
m
-y2=1(m＞0)，A．B兩點(diǎn)分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且|AB|=2
m
，又點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程并判斷其形狀；
（2）若不同三點(diǎn)D（-2，0）、S、T 均在點(diǎn)P的軌跡上，且
DS
•
ST
=0； 求T點(diǎn)橫坐標(biāo)xT的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若x∈[1，+∞），不等式（m-m2）2x+4x+1＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊答案