Question

16．已知函數(shù)x∈R，符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=$\frac{[x-m]}{x-m}$，其中m∈N^*，則給出以下四個(gè)結(jié)論其中正確是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）在（m+1，+∞）上的值域?yàn)?（\frac{1}{2}，1]$
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱
• C． 函數(shù)f（x）在（m，+∞）是減函數(shù)
• D． 函數(shù)f（x）在（m+1，+∞）上的最小值為$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令t=x-m，對(duì)t大于0和小于0進(jìn)行討論．即可得到答案．

解答 解：由題意，x∈R，符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=$\frac{[x-m]}{x-m}$，其中m∈N^*，
令t=x-m，則g（t）=$\frac{[t]}{t}$
當(dāng)t＞0時(shí)，
則當(dāng)0＜t＜1，即：m＜x＜m+1，[t]=0，此時(shí)g（t）=0，
當(dāng)1≤t＜2，即：m+1≤x＜m+2，[t]=1，此時(shí)g（t）=$\frac{1}{t}$，那么：$\frac{1}{2}$＜g（t）≤1，
當(dāng)2≤t＜3，即：m+2≤x＜m+3，[x]=2，此時(shí)g（x）=$\frac{2}{t}$，那么：$\frac{2}{3}$＜g（t）≤1，
…
…
可見函數(shù)f（x）在（m+1，+∞）上的值域?yàn)椋?\frac{1}{2}$，1]．故A對(duì)．
顯然函數(shù)f（x）在（m+1，+∞）上的最小值取不到$\frac{1}{2}$．故D不對(duì)．
當(dāng)t＜0時(shí)，
則當(dāng)-1≤t＜0，即：m-1＜x＜m，[t]=-1，此時(shí)g（t）≥1，
當(dāng)-2≤t＜-1，即：m-2＜x＜m-1，[t]=-2，此時(shí)g（t）=$-\frac{2}{t}$，那么：1≤g（t）＜2，
當(dāng)-3≤t＜-2，即：m-3＜x＜m-2，[x]=-3，此時(shí)g（x）=-$\frac{3}{t}$，那么：1≤g（t）＜$\frac{3}{2}$，
…
…
作出函數(shù)g（t）的圖象．

數(shù)形結(jié)合：B，C不對(duì)．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)g（t），利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．