Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作方向向量的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求證：為定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）已知橢圓的長軸長，就是已知，那么在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中還有一個(gè)參數(shù)，正好橢圓過點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)的代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，得橢圓方程；（2）這是直線與橢圓相交問題，考查同學(xué)們的計(jì)算能力，給定了直線的方向向量，就是給出了直線的斜率，只要設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，就能寫出直線的方程，把它與橢圓方程聯(lián)立方程組，可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的值，看它與有沒有關(guān)系（是不是常數(shù)），當(dāng)然在求時(shí)，不一定要把兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求出（如直接求出，對(duì)下面的計(jì)算沒有幫助），而是采取設(shè)而不求的思想，即設(shè)，然后求出，，而再把用，表示出來然后代入計(jì)算，可使計(jì)算過程簡化．

試題解析：（1） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030104454665062227/SYS201403010447328523344845_DA.files/image014.png">的焦點(diǎn)在軸上且長軸為，

故可設(shè)橢圓的方程為（），             （1分）

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，                （2分）

解得，       （1分）

所以，橢圓的方程為．                       （2分）

（2）設(shè)（），由已知，直線的方程是，   （1分）

由  （*）           （2分）

設(shè)，，則、是方程（*）的兩個(gè)根，

所以有，，                  （1分）

所以，

（定值）．               （3分）

所以，為定值．                      （1分）

（寫到倒數(shù)第2行，最后1分可不扣）

考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓相交問題．