△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)θ,恒有acos(θ-B)+bcos(θ-A)=ccosθ.
思路與技巧:根據(jù)結(jié)論等式的特點(diǎn),自左向右是一個(gè)統(tǒng)一邊角,消元重組的化簡(jiǎn)過程. 解答:由正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC acos(θ-B)+bcos(θ-A) 。絘(cosθcosB+sinθsinB)+b(cosθcosA-sinθsinA) =(acosB+bcosA)cosθ+(asinB-bsinA)sinθ 。2R(sinAcosB+sinBcosA)+2R(sinAsinB-sinBsinA)sinθ 。2Rsin(A+B)cosθ=2RsinCcosθ=ccosθ 所以原式成立. 評(píng)析:(1)本題所給等式的右端,只有邊c,左邊有a、b、A、B,應(yīng)通過消元轉(zhuǎn)化,逐步向目標(biāo)式逼近. (2)令θ=0得acosB+bcosA=c是三角形中的一個(gè)常用的定理稱為射影定理. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
a+b+c |
sinA+sinB+sinC |
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