Question

如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內心，若，

證明：為直角三角形.

 

Answer 1

證：由于點皆在的中垂線上，設直線交于，交于，則是的中點，是的中點; 因是的內心，故共線，且.

又 是的中垂線，則，而為的內、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，，又因

，

則. 作于，則有，

，且，所以，，故得 ，因此，是的中位線，從而 ∥，而，則.故為直角三角形．

證二：記，因是的中垂線，則，由條件 1

延長交于，并記，則，對圓內接四邊形用托勒密定理得，即2，由1、2得，所以，

即是弦的中點，而為外心，所以，故為直角三角形．