Question

如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道，車(chē)道總寬22米，要求通行車(chē)輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線(xiàn)近似地看成半個(gè)橢圓形狀.

(1)若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？

(2)若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最��？

(半個(gè)橢圓的面積公式為S=lh,柱體體積為底面積乘以高.本題結(jié)果均精確到0.1米)

Answer 1

解：(1)如圖，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P(11，4.5)，

    橢圓方程為+=1.

    將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=,此時(shí)l=2a=≈33.3.

    因此隧道的拱寬約為33.3米.

(2)由橢圓方程+=1,

    得=1.

    因?yàn)?SUB>≥,

    即ab≥99,且l=2a,h=b,

V=lh·2.5=·2ab=247.5π.

    當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)V_min=247.5π.

    又=1,

    解得a=11,b=,l=22.

∴拱高應(yīng)為米,拱寬為22米.

答:當(dāng)拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最小.