Question

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a₂=4，且對于任何n∈N*，有，
（1）求a₁，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項a_n。

Answer 1

解：（1）據(jù)條件得， ①
當(dāng)n=1時，由，
即有，解得，
因為a₁為正整數(shù)，故；
當(dāng)n=2時，由，
解得，所以。
（2）由，猜想：，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1，2時，由（1）知均成立；
②假設(shè)n=k（k≥2）成立，則，
則n=k+1時，由①得

，
因為k≥2時，，
所以；
k-1≥1，所以，
又，所以，
故，
即n=k+1時，成立。
由①，②知，對任意n∈N*，。