Question

15．如圖所示，在等腰梯形CDEF中，DE=CD=$\sqrt{2}$，EF=2+$\sqrt{2}$，將它沿著兩條高AD，CB折疊成如圖（2）所示的四棱錐E-ABCD（E，F(xiàn)重合）．
（1）求證：BE⊥DE；
（2）設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （1）證明AD⊥平面ABE，AD⊥BE，AE⊥BE，再用一次線面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE；
（2）取EC的中點(diǎn)G，BE的中點(diǎn)P，連接PM，PG，MG．利用三角形中位線定理結(jié)合線面平行的判定，得到MP∥平面DAE，GP∥平面DAE，從而平面MPG∥平面DAE，由此得到直線MG∥平面DAE，可得點(diǎn)N就是點(diǎn)G．

解答 （1）證明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AE，AD⊥AB．
又∵AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE．
由題圖（1）和題中所給條件知，四棱錐E-ABCD中，AE=BE=1，AB=CD=$\sqrt{2}$，
∴AE²+BE²=AB²，即AE⊥BE．
又∵AE∩AD=A，
∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE…（6分）
（2）解：取EC的中點(diǎn)G，BE的中點(diǎn)P，連接PM，PG，MG，
則MP∥AE，GP∥CB∥DA，
∴MP∥平面DAE，GP∥平面DAE．
∵M(jìn)P∩GP=P，∴平面MPG∥平面DAE．
∵M(jìn)G?平面MPG，∴MG∥平面DAE，
故當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)滿足條件…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題證明了線線垂直和線面平行，著重考查了空間平行與垂直位置關(guān)系的證明等知識(shí)，屬于中檔題．