Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5．
（1）求拋物線方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求 A B的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離．

Answer 1

解：（1）拋物線，
∴p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．…（4分）
（2）∵點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0），
所以AB的方程為y=x-1，…（6分）
由消y得x²-6x+1=0…（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6，
所以C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_C=3…（10分）
所以AB的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離為x_C+1=4．…（12分）
分析：（1）拋物線，由此能求出拋物線方程．
（2）由點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0），知AB的方程為y=x-1，由得x²-6x+1=0．由此能求出AB的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．