設等差數(shù)列{
}的前
n項和為
Sn,且
S4=4
S2,
.
(1)求數(shù)列{
}的通項公式;
(2)設數(shù)列{
}滿足
,求{
}的前
n項和
Tn;
(3)是否存在實數(shù)
K,使得
Tn恒成立.若有,求出
K的最大值,若沒有,說明理由.
(1)
an=2
n﹣1,
n∈
N*;(2)
;(3)
.
試題分析:(1)由于{
an}是等差數(shù)列,故只需求出其首項
a1和公差
d即可得其通項公式.由
S4=4
S2,
a2n=2
an+1得方程組:
,這個方程組中,看起來有3個未知數(shù),但
n抵消了(如果
n不能抵消,則左右兩邊對應系數(shù)相等),故實質上只有兩個未知數(shù).解這個方程組即可(也可以取
n=2).(2)首先求出{
bn}的通項公式. 已知
求
,則
.在本題中,由已知
可得:當
n≥2時,
,顯然,
n=1時符合.由(1)得,
an=2
n﹣1,
n∈N*.從而
,
n∈
N*.這個數(shù)列用錯位相消法便可求得其和
.(3)
Tn恒成立,則
.為了求
,需要研究
的單調(diào)性,為了研究
的單調(diào)性,需考查
的符號.
試題解析:(1)設等差數(shù)列{
an}的首項為
a1,公差為
d,由
S4=4
S2,
a2n=2
an+1得:
,
解得
a1=1,
d=2.
∴
an=2
n﹣1,
n∈
N*.(2)由已知
,得:
當
n=1時,
,
當
n≥2時,
,顯然,
n=1時符合.
∴
,
n∈
N*,由(1)知,
an=2
n﹣1,
n∈N*.∴
,
n∈
N*.
又
,∴
,
兩式相減得:
所以
.
(3)
,
所以
單調(diào)遞增,
所以
,
所以
.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設
是首項為
,公差為
的等差數(shù)列(d≠0),
是其前
項和.記b
n=
,
,其中
為實數(shù).
(1) 若
,且
,
,
成等比數(shù)列,證明:S
nk=n
2S
k(k,n∈N
+);
(2) 若
是等差數(shù)列,證明:
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列
為等差數(shù)列,且
,
.設數(shù)列
的前
項和為
,且
.
(1)求數(shù)列
和
的通項公式;
(2)若
,
為數(shù)列
的前
項和,求
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
從
中這
個數(shù)中取
(
,
)個數(shù)組成遞增等差數(shù)列,所有可能的遞增等差數(shù)列的個數(shù)記為
.
(1)當
時,寫出所有可能的遞增等差數(shù)列及
的值;
(2)求
;
(3)求證:
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知數(shù)列
滿足
,且
,設
的
項和為
,則使得
取得最大值的序號
的值為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
在數(shù)列
中,
等于( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
在等差數(shù)列{an}中,a4=2,a7=-4.現(xiàn)從{an}的前10項中隨機取數(shù),每次取出一個數(shù),取后放回,連續(xù)抽取3次,假定每次取數(shù)互不影響,那么在這三次取數(shù)中,取出的數(shù)恰好為兩個正數(shù)和一個負數(shù)的概率為________(用數(shù)字作答).
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設等差數(shù)列
中首項為
公差為
,且從第5項開始是正數(shù),則公差
的范圍是( ).
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