Question

（2012•蕪湖二模）已知函數(shù)f(x)=

1

2

(x+

1

x

)，x≥0，a_n+1=f（a_n），對于任意的n∈N^*，都有a_n+1＜a_n．
（Ⅰ）求a₁的取值范圍；
（Ⅱ）若a₁=

3

2

，證明a_n＜1+

1

2n+1

（n∈N₊，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下證明

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

-n＜

2

+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的表達式，結(jié)合a_n+1=f（a_n），解不等式a_n+1-a_n＜0，再結(jié)合a_n是正數(shù)，可得對任意n∈N₊，
都有a₁＞1．
（II）先用導(dǎo)數(shù)進行研究，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．再利用數(shù)學歸納的方法，可以證明
出a_n＜1+

1

2n+1

（n∈N₊，n≥2）．
（III）由a_n+1=f（a_n）=

1

2

(an+

1

an

)，解出an=an+1+

an+12-1

，再變形得到

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

，
結(jié)合0＜a_n+1＜a_n得到

an

an+1

-1＜

1- 1 an2

，最后利用g（x）=

1- 1 x2

在（1，+∞）是增函數(shù)，通過放縮得到

an

an+1

-1＜

1 2n

，再以此為依據(jù)，進行累加可得原不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f(an)=

1

2

(an+

1

an

)， an＞0
∴an+1-an=

1

2

(an+

1

an

)-an=

1

2

(

1

an

-an)＜0
∴

1

2

 •

1-an2

an

＜0
∵a_n是正數(shù)，
∴a_n＞1對任意n∈N₊恒成立，因此a₁＞1．
（II）∵f/(x) =

1

2

(x+

1

x

)/=

x2-1

2x2

∴當x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)
下面用數(shù)學歸納法，證明a_n＜1+

1

2n+1

（n∈N₊，n≥2）．
①當n=2時，由a₁=

3

2

，得a2=

1

2

(a1+

1

a1

)=

13

12

＜1+

1

23

=

9

8

②設(shè)當n=k時，a_k＜1+

1

2k+1

成立
則當n=k+1時，a_k+1=f（a_n）＜f（1+

1

2k+1

）=

1

2

（1+

1

2k+1

+

1

1+  1 2k+1

）
=

1

2

（1+

1

2k+1

+1-

1

1+2k+1

）＜

1

2

（2+

1

2 k+1

）=1+

1

2 (k+1)+1

，不等式也成立
綜合①②可得，對任意的n∈N₊，n≥2），均有a_n＜1+

1

2n+1

成立．
（III）an+1=

1

2

(an+

1

an

)⇒an=an+1+

an+12-1

⇒

an

an+1

=1+

1- 1 an+12

⇒

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

＜

1- 1 an2

設(shè)g（x）=

1- 1 x2

，則g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)
∴

an

an+1

-1＜ 

1- 1 an 2

＜

1- 1 (1+ 1 2n+1 )2

= 

2×2n+1+1 (2n+1+1)2

＜

2 2n+1+1

＜

1 2n

又∵

a1

a2

-1=

5

13

＜

1 2

∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

-n＜

1 2

+

1 22

+

1 23

+…+

1 2n

=

2 2 [1-( 2 2 )n]

1- 2 2

=(

2

+1) [1-(

2

2

)n] ＜

2

+1                                           
即對任意的n∈N₊，n≥2，均有

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

-n＜

2

+1成立．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)與方程、數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式和運用放縮法證明不等式等知識點，屬于難題．