Question

如圖P₁是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P₁的左下端剪去一個半徑為

1

2

的半圓后得到圖形P₂，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形P₃，P₄，…，Pn，…，記紙板Pn的面積為Sn，則Sn=

π

2

[1-

1-( 1 4 )n-1

3

]

．

Answer 1

分析：由已知每次剪掉的半圓形面積構成一個等比數(shù)列，根據(jù)已知不難求出該數(shù)列的首項和公比，代入等比數(shù)列前n項和公式，易得剪去的所有半圓的面積和，從而得到最后紙板P_n的面積．

解答：解：每次剪掉的半圓形面積構成一個以

π

8

為首項，以

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴紙板P_n的面積為S_n=

π

2

-

π 8 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

π

2

[1-

1-( 1 4 )n-1

3

]．
故答案為：

π

2

[1-

1-( 1 4 )n-1

3

]．

點評：本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)實際中的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．