【題目】已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與E交于A，C兩點(diǎn)

（1）分別過A，C兩點(diǎn)作拋物線E的切線，求證：拋物線E在A、C兩點(diǎn)處的切線互相垂直；

（2）過點(diǎn)F作直線l的垂線與拋物線E交于B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）32

【解析】

（1）設(shè)出直線l的方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及導(dǎo)數(shù)求得斜率相乘為﹣1即可；

（2）用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)|AC|和|BD|，再算出面積后，用基本不等式求最值．

（1）證明：設(shè)過點(diǎn)F（0，1）的直線方程為：y＝kx+1，

由，得x2﹣4kx﹣4＝0，

設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），

則，

∵yx2，∴y′x，

設(shè)拋物線E在點(diǎn)A、C兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為k1，k2，

則k1k2x1x2x1x2＝﹣1，

故拋物線E在A，C兩點(diǎn)處的切線互相垂直．

（2）由（1）知|AC|4（k2+1）

同理|BD|＝4（1）

∴S四邊形ABCD|AC||BD|＝8（k2+1）（1）

＝8（1+k21）

≥8（2+2）

＝32，

∴四邊形ABCD的面積的最小值為32．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出z的值是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） ①對(duì)于命題p：x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p：x∈R，均有x2+x+1＞0；
②命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”是真命題；
③回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則回歸直線方程為 =1.23x+0.08；
④m=3是直線（m+3）x+my﹣2=0與直線mx﹣6y+5=0互相垂直的充要條件．
A.1
B.3
C.2
D.4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 ，則z=2|x|+y的最大植為

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣ ）= ，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且∠AOB= ，求|OA|+|OB|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】祖沖之之子祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代偉大的科學(xué)家，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是，如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．此即祖暅原理．利用這個(gè)原理求球的體積時(shí)，需要構(gòu)造一個(gè)滿足條件的幾何體，已知該幾何體三視圖如圖所示，用一個(gè)與該幾何體的下底面平行相距為h（0＜h＜2）的平面截該幾何體，則截面面積為（ ）
A.4π
B.πh2
C.π（2﹣h）2
D.π（4﹣h2）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分別為SA，SB的中點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)，過M，N作平面MNPQ分別與BC，AD交于點(diǎn)P，Q，若 =t ．
（1）當(dāng)t= 時(shí)，求證：平面SAE⊥平面MNPQ；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x|+|x+1|．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞3；
（2）若x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ？若存在，求出AP的長(zhǎng)h；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案