Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}通項a_n
（2）數(shù)列的前n項和為S_n，若3（1-ka_n）≤S_n•a_n對任意n∈N^*恒成立，求k的最小值．．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，令n=1，求得a₂的值，a_na_n+1=2ⁿ，得a_na_n-1=2^n-1，兩式相比，即得=2，從而求得數(shù)列{an}的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，故求數(shù)列{a_n}通項；
（2）分別求得S_n=-3，n為奇數(shù)；S_n=3（-1），n為偶數(shù)；再利用分離參數(shù)法，考查相應函數(shù)的單調性，求出相應的最值，從而求出參數(shù)的范圍．
解答：解：（1）∵a_na_n+1=2ⁿ∴a_na_n-1=2^n-1，兩式相比，∴=2，∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列
∴a_n=，n為奇數(shù)；a_n=，n為偶數(shù)；
（2）S_n=-3，n為奇數(shù)；S_n=3（-1），n為偶數(shù)；
當n為奇數(shù)時，，3（1-ka_n）≤S_n•a_n
3（1-ka_n）≤（-3）a_n，
∴k≥
∴K≥-（-1）=-•+1
F（n）=-•+1單調遞減；F（1）=最大；K≥
當n為偶數(shù)時，3（1-ka_n）≤S_n•a_n
3（1-ka_n）≤3（-1）a_n∴k≥=-+1
F（n）=-+1單調遞減，所以n=2時F（2）=-0.5
K≥-0.5
綜合上面可得k
點評：本題考查恒成立問題的出來方法，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬中檔題