Question

10．在△ABC中，AB=2，cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，D是AC上一點(diǎn)，AD=2DC，且cos∠DBC=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．求：
（1）∠BDA的大�。�
（2）$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{CB}$．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角的基本關(guān)系求得sinC和sin∠DBC的值，結(jié)合∠BDA=C+∠DBC，利用兩角和的余弦公式求得 cos∠BDA 的值，可得∠BDA 的值．
（2）由（1）的結(jié)論，我們易求出△ABC中各邊的長，再由D是AC上一點(diǎn)，$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DC}$，我們將相關(guān)數(shù)據(jù)代入平面向量數(shù)量積公式即可求解．

解答 解：（1）△ABC中，∵cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，cos∠DBC=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
∴sinC=$\sqrt{{1-cos}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，sin∠DBC=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠DBC}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴∠BDC=π-C-∠DBC，∴∠BDA=C+∠DBC，
∴cos∠BDA=cos（C+∠DBC ）=cosC•cos∠DBC-sinC•sin∠DBC
=$\frac{2\sqrt{7}}{7}•\frac{5\sqrt{7}}{14}$-$\frac{\sqrt{21}}{7}•\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BDA=$\frac{π}{3}$．
（2）設(shè)DC=x，BC=a，
在△BDC中，由正弦定理易得：$\frac{a}{sin∠BDC}$=$\frac{x}{sin∠DBC}$，a=$\frac{x•sin（π-\frac{π}{3}）}{\frac{\sqrt{21}}{14}}$=$\sqrt{7}$x，
在△ABC中，AC=3x，BC=$\sqrt{7}$x，AB=2，
∴cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$\frac{{a}^{2}{+（3x）}^{2}-4}{2a•x}$=$\frac{1{6x}^{2}-4}{2\sqrt{7}{•x}^{2}}$，解得x=1，∴AD=2，CB=$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}$=2•$\sqrt{7}$•cos（π-C）=2$\sqrt{7}$•（-cosC）=-2$\sqrt{7}$•$\frac{2\sqrt{7}}{7}$=-4．

點(diǎn)評 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算公式是向量中最重要的知識點(diǎn)之一，它在證明線線關(guān)系，解三角形中都有廣泛應(yīng)用，大家一定要熟練掌握，屬于中檔題．