Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)P（1，-2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過焦點(diǎn)F且斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）通過點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過焦點(diǎn)F且斜率為2的直線l，設(shè)出直線方程，利用過焦點(diǎn)F且斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離求出△OAB的面積．

解答： （本小題滿分（13分），（Ⅰ）小問（5分），（Ⅱ）小問8分）
解：（Ⅰ）由題意：4=2p，解得：p=2，
從而拋物線的方程為y²=4x，準(zhǔn)線方程為x=-1…（5分）
（Ⅱ）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），依題意可設(shè)直線y=2x-2…（6分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=2x-2 y2=4x

得：4x²-12x+4=0，即x²-3x+1=0…（8分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達(dá)定理有：x₁+x₂=3，x₁x₂=1…（9分）
則弦長(zhǎng)|AB|=

5

|x1-x2|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

9-4

=5…（11分）
而原點(diǎn)O（0，0）到直線l的距離d=

2

5

5

…（12分）
故S△FAB=

1

2

×|AB|×d=

5

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的方程的求法以及性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．