Question

16．若函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜$\frac{π}{2}$）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)值從1減小到-1，則f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值求出ω 和φ的值即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜$\frac{π}{2}$）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)值從1減小到-1，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即函數(shù)的周期T=π，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，
則f（x）=sin（2x+φ），
∵f（$\frac{π}{6}$）=sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
即$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
則f（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案是：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象的應(yīng)用，根據(jù)條件求出ω 和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．