Question

若函數(shù)f(x)=log

1

2

(x3-ax)在(-3，-2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[9，12]

．

Answer 1

分析：將原函數(shù)f(x)=log

1

2

(x3-ax)看成是函數(shù)：y=log

1

2

μ，μ=x³-ax的復(fù)合函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)與三次函數(shù)的單調(diào)性來研究即可．注意對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0．

解答：解：設(shè)μ=x³-ax．
則原函數(shù)是函數(shù)：y=log

1

2

μ，μ=x³-ax的復(fù)合函數(shù)，
因y=log

1

2

μ在（0，+∞）上是減函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得
函數(shù)f(x)=log

1

2

(x3-ax)的單調(diào)減區(qū)間是函數(shù)μ=x³-ax的單調(diào)增區(qū)間，
∴μ′=3x²-a≥0在（-3，-2）恒成立，即a≤3x²在（-3，-2）恒成立，
∴a≤3×（-2）²=12
且μ=（-3）³-a×（-3）≥0⇒a≥9，
∴9≤a≤12．
故答案為：[9，12]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一般是看函數(shù)包含的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性（1）如果兩個(gè)都是增的，那么函數(shù)就是增函數(shù) （2）一個(gè)是減一個(gè)是增，那就是減函數(shù) （3）兩個(gè)都是減，那就是增函數(shù)．