【題目】函數(shù),且在處的切線斜率為.
(1)求的值,并討論在上的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù) ,其中,若對任意的總存在,使得成立,求的取值范圍
(3)已知函數(shù),試判斷在內(nèi)零點的個數(shù).
【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析.(3)1個零點
【解析】試題分析:
(1)由函數(shù)的解析式可得f′(x)=(a-1)sin x+axcos x,由可得,利用導函數(shù)討論單調(diào)性可得f(x)在, 上單調(diào)遞增;在, 上單調(diào)遞減.
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可知f(x)min=f(0)=1,則g(x)≥1在x∈[0,+∞)上恒成立.且g′(x)= (x≥0,m>0),據(jù)此討論可知m≥2時滿足題意,當0<m<2時不合題意,則的取值范圍是m≥2.
(3)由函數(shù)的解析式可得: ,構(gòu)造函數(shù),則,據(jù)此討論可得存在,當時, 單調(diào)遞增,當時, 單調(diào)遞減,結(jié)合端點函數(shù)在可得在內(nèi)零點的個數(shù)為1個.
試題解析:
(1)∵f′(x)=asin x+axcos x-sin x=(a-1)sin x+axcos x,
f ′=(a-1)·+·a·=,
∴a=1,f′(x)=xcos x.
當f′(x)>0時,-π<x<-或0<x<;
當f′(x)<0時,-<x<0或<x<π,
∴f(x)在,上單調(diào)遞增;在,上單調(diào)遞減.
(2)當x∈[0,]時,f(x)單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(0)=1,
則只需g(x)≥1在x∈[0,+∞)上恒成立即可.
g′(x)= (x≥0,m>0),
①當m≥2時,≥0,∴g′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,即g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(0)=1,∴g(x)≥1在x∈[0,+∞)上恒成立,故m≥2時成立.
②當0<m<2時,當x∈時,g′(x)<0,此時g(x)單調(diào)遞減,∴g(x)<g(0)=1,故0<m<2時不成立.
綜上m≥2.
(3)由函數(shù)的解析式可得: ,
令,則,故函數(shù)單調(diào)遞增,
當從右側(cè)趨近于時, , ,
故存在,滿足,
當時, 單調(diào)遞增,
當時, 單調(diào)遞減,
且: , ,
函數(shù)圖象如圖所示:
據(jù)此可得: 在內(nèi)零點的個數(shù)為1個.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E的方程: ,P為橢圓上的一點(點P在第三象限上),圓P 以點P為圓心,且過橢圓的左頂點M與點C(﹣2,0),直線MP交圓P與另一點N.
(1)求圓P的標準方程;
(2)若點A在橢圓E上,求使得 取得最小值的點A的坐標;
(3)若過橢圓的右頂點的直線l上存在點Q,使∠MQN為鈍角,求直線l斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,我國PM2.5標準采用世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標.
某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取6天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值莖葉圖(十位為莖,個位為葉)如圖所示,若從這6天的數(shù)據(jù)中隨機抽出2天,
(1)求恰有一天空氣質(zhì)量超標的概率;
(2)求至多有一天空氣質(zhì)量超標的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】求函數(shù)y=的值的程序框圖如圖所示.
(1)指出程序框圖中的錯誤,并寫出算法;
(2)重新繪制解決該問題的程序框圖,并回答下面提出的問題.
①要使輸出的值為正數(shù),輸入的x的值應滿足什么條件?
②要使輸出的值為8,輸入的x值應是多少?
③要使輸出的y值最小,輸入的x值應是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求的極值;
(2)請?zhí)詈孟卤?在答卷),并畫出的圖象(不必寫出作圖步驟);
(3)設(shè)函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,求的值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且平面平面,底面是菱形,且, 為棱上的動點,且.
(1)求證: ;
(2)試確定的值,使得二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,ABCD是等腰梯形,AB∥DC,AB=2,AD=1,∠ABC=60°,E為A1C的中點
(1)求證:D1E∥平面BB1C1C;
(2)求證:BC⊥A1C;
(3)若A1A=AB,求二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若,試判斷函數(shù)的零點個數(shù);
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求整數(shù)的最大值.
(可能要用到的數(shù)據(jù): , , )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f.
(1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖象在點處的切線方程;
(3)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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