Question

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2，過F₁作垂直于橢圓長軸的弦|PQ|，其長度為3．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．判斷是否存在直線l使得∠AF₂B為鈍角，若存在，求出l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦距為2可求得c值，由弦長|PQ|為3可得

b2

a

=

3

2

，再由a²=b²+c²即可求得a，b；
（Ⅱ）分情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)過F₁直線AB的斜率不存在時(shí)易作出判斷；（ii）當(dāng)過F₁直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)∠AF₂B為鈍角時(shí)，

F2A

•

F2B

＜0，利用韋達(dá)定理可把該不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，若有解則存在，否則不存在；

解答：解：（Ⅰ）依題意

b2 a = 3 2 2c=2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）（i）當(dāng)過F₁直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)，
則

F2A

•

F2B

=

7

4

，顯然∠AF₂B不為鈍角．
（ii）當(dāng)過F₁直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0．△＞0恒成立．
x1+x2=

-8k2

4k2+3

，x1•x2=

4k2-12

4k2+3

，
∴

F2A

•

F2B

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+(k2+1)=

7k2-9

4k2+3

，
當(dāng)∠AF₂B為鈍角時(shí)，

F2A

•

F2B

＜0，所以k2＜

9

7

，-

3 7

7

＜k＜

3 7

7

，
綜上所述，滿足條件的直線斜率k滿足-

3 7

7

＜k＜

3 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生的探究能力、分析解決問題的能力，對(duì)于存在性問題往往先假設(shè)存在，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行推導(dǎo)．