若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)一切x＞0，滿足f（
x
y
）=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值；
（2）請(qǐng)舉出一個(gè)符合條件的函數(shù)f（x）；
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+5）-f（
1
x
）＜2．
分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；
（2）函數(shù)f（x）=log2x就是一個(gè)符合條件的函數(shù)；
（3）f（6）=1，依題意知，f（36）=2，f（x+5）-f（
1
x
）＜2?f（（x+5）x）＜f（36），利用f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，解相應(yīng)的不等式組即可．
解答：解：（1）令x=y=1，
∴f（1）=f（1）-f（1）
∴f（1）=0；
（2）函數(shù)f（x）=log2x就是一個(gè)符合條件的函數(shù)，
∵log2(
x
y
)=log2x-log2y，
滿足f（
x
y
）=f（x）-f（y）；
（3）∵f（6）=1，
∴2f（6）=f（36）=2，
∵f（x+5）-f（
1
x
）＜2，
∴f（（x+5）x）＜2，
∴f（（x+5）x）＜f（36），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴（x+5）x＜36，
∴x∈（-9，4），又x+5＞0，
1
x
＞0，
∴x∈（0，4）即為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對(duì)?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對(duì)?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數(shù)；
（2）若f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對(duì)?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14、下列命題中：
①若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②若f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，對(duì)于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③已知x1，x2是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的兩個(gè)值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），則f（x）是減函數(shù)；
④若f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f （x+2）也為奇函數(shù)，則f （x）是以4為周期的周期函數(shù)．
其中正確的命題序號(hào)是
①④
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)一切x，y＞0，滿足f（
x
y
）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列命題四個(gè)命題：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0）上是增函數(shù)，θ∈(
π
4
，
π
2
)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要條件；
③設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2（-2≤x＜0），其反函數(shù)為f-1（x），則f-1（3）=-1或1．
④在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知b2+c2=a2+bc，則A=
π
3
．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）是定義在[0，+∞）上的增函數(shù)，則不等式f(2x-1)＜f(
13
)的解集為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案