已知函數(shù)f（x）=x+數(shù)學公式，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并用定義證明你的結(jié)論．

解：（1）由題意可得 1+-2，解得a=1．
（2）由（1）可得fx）=x+，它的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱．
再由f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設x2＞x1＞1，可得f（x2）-f（x1）=（）-（）=x2-x1+=（x2-x1）（1-）．
由題設可得x2-x1＞0，＜1，故 1-＞0，∴f （x2）-f（x1）＞0，即 f（x2）＞f（x1），
故函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）由題意可得 1+-2，喲此解得a的值．
（2）由（1）可得fx）=x+，求得它的定義域關于原點對稱．再由f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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