Question

18．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=3，AC=4，AD=5，SA⊥平面ABCD．
（1）證明：AC⊥平面SAB；
（2）若SA=2，求三棱錐A-SCD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥AB，SA⊥AC，由此能證明AC⊥平面SAB．
（2）由V_A-SCD=V_S-ACD，能求出三棱錐A-SCD的體積．

解答 證明：（1）∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，
AB=3，AC=4，AD=5，
∴BC²=AB²+AC²，AC⊥AB，
∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AC，
∵AB∩SA=A，∴AC⊥平面SAB．
解：（2）V_A-SCD=V_S-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}×SA$，
∵SA⊥平面ABCD，
∴SA是三棱錐S-ACD的高，
S_△ACD=$\frac{1}{2}×AC×CD$=$\frac{1}{2}×4×3$=6，
∴V_A-SCD=V_S-ACD
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×SA$=$\frac{1}{3}×6×2=4$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．